已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点． （1）求抛

已知抛物线y=a（x﹣1）²过点（3，1），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；

（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．

①求证：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值．

【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；

（2）设点C的坐标为（x₀，y₀），其中y₀=（x₀﹣1）²，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x₀的值即可得；

（3）①设点P的坐标为（x₁，y₁），点Q为（x₂，y₂），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x₁﹣1）（x₂﹣1）=﹣16，由PM=y₁=（x₁﹣1）²、QN=y₂=（x₂﹣1）²、DM=|x₁﹣1|=1﹣x₁、DN=|x₂﹣1|=x₂﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S_△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．

【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，

解得：a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）²；

（2）由（1）知点D坐标为（1，0），

设点C的坐标为（x₀，y₀），（x₀＞1、y₀＞0），

则y₀=（x₀﹣1）²，

如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠BDO=∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴=，

∴==，

解得：x₀=17，此时y₀=64，

∴点C的坐标为（17，64）．

（3）①证明：设点P的坐标为（x₁，y₁），点Q为（x₂，y₂），（其中x₁＜1＜x₂，y₁＞0，y₂＞0），

由，得：x²﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，

∴，

∴（x₁﹣1）（x₂﹣1）=﹣16，

如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则PM=y₁=（x₁﹣1）²，QN=y₂=（x₂﹣1）²，

DM=|x₁﹣1|=1﹣x₁、DN=|x₂﹣1|=x₂﹣1，

∴PM•QN=DM•DN=16，

∴=，

又∠PMD=∠DNQ=90°，

∴△PMD∽△DNQ，

∴∠MPD=∠NDQ，

而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），

所以DG=4，

∴S_△PDQ=DG•MN=×4×|x₁﹣x₂|=2=8，

∴当k=0时，S_△PDQ取得最小值16．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．