已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.
求证:l⊥γ.
已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.
求证:l⊥γ.
证法一:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,ΡΒ⊥β.
∵l=α∩β,
∴l⊥PA,l⊥PB.
∵α与β相交,
∴PA与PB相交.
又PA
γ,∴l⊥γ.证法二:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,
∴m⊥γ,m⊥γ.
∴m∥n.又n
∴m∥β.∴m∥l.
∴l⊥γ.
证法三:在l上取一点P,过点P作γ的垂线l′,
但α∩β=l,∴l与l′重合.∴l⊥γ.
小结:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.
证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.
通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方法.