如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三

如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.

求证:l⊥γ.

答案

证法一:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,ΡΒ⊥β.

∵l=α∩β,

∴l⊥PA,l⊥PB.

∵α与β相交,

∴PA与PB相交.

又PA

γ,PBγ,∴l⊥γ.

证法二:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,

∴m⊥γ,m⊥γ.

∴m∥n.又n

β,

∴m∥β.∴m∥l.

∴l⊥γ.

证法三:在l上取一点P,过点P作γ的垂线l′,

但α∩β=l,∴l与l′重合.∴l⊥γ.

小结:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.

证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.

通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方法.


相关题目

下列物质燃烧时,能产生大量白烟的物质是(   ) A.木炭在
下列物质燃烧时,能产生大量白烟的物质是(   ) A.木炭在空气中燃烧                 B.铁丝在氧气中燃烧 C.红磷在氧气中燃烧         
The dangerous virus ______ in the next few weeks in the laboratory can cause fa
The dangerous virus ______ in the next few weeks in the laboratory can cause fatal diseases. A.studying            B.studied                    C.to study   
如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑杆AB 长2.5
如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑杆AB 长2.5米,顶端A在AC 上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米,当端点B向右移动0.5米时,求滑杆
如图表示封闭在某容器中的少量液态水的微观示意图(该容
如图表示封闭在某容器中的少量液态水的微观示意图(该容器 的活塞可以左右移动).煮沸后,液态水变成水蒸气.在这一过程中, 发生的变化是(
细胞的全能性是指:(    ) A.细胞具有全面的生理功能 B
细胞的全能性是指:(    ) A.细胞具有全面的生理功能 B.细胞既能分化,也能恢复到分化前的状态 C.已经分化的细胞全部能进一步分化 D.已经
Late in April, a photo show was held in our school. It lasted a week and was a
Late in April, a photo show was held in our school. It lasted a week and was a great success! All the photos were t______                            by the students themsel
用数学归纳法证明“”()时,从“”时,左边应增添的式
用数学归纳法证明“”()时,从“”时,左边应增添的式子是(     )      A.            B.       C.       D.
从降低成本和减少环境污染的角度考虑,制取硝酸铜最好的
从降低成本和减少环境污染的角度考虑,制取硝酸铜最好的方法是( )A.铜和浓硝酸反应B.铜和稀硝酸反应C.氧化铜和硝酸反应D.氯化铜和硝酸银

最新题目