(本小题满分14分)
已知函数
的极值点为
和
．
（Ⅰ）求实数
，
的值；
（Ⅱ）试讨论方程
根的个数；
（Ⅲ）设
，斜率为
的直线与曲线
交于
两点，试比较
与
的大小，并给予证明．
(本小题满分14分)
已知函数的极值点为和．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）试讨论方程根的个数；
（Ⅲ）设，斜率为的直线与曲线交于
两点，试比较与的大小，并给予证明．
本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分.
解：（Ⅰ）
，
，……………… 1分
由
的极值点为
和
，
∴
的根为和，
∴
解得
……………………3分
（Ⅱ）由
得
，
，设
， .
， ………………5分
当
变化时，
与
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
| － | + |
|
| 单调递减 | 单调递增 |
由此得，函数
的单调减区间为
，单调增区间为
.…6分
∴
，
且当正向趋近于0时，趋近于
，
当趋近于时，趋近于. ………………7分
∴当
时，方程只有一解；
当
时，方程有两解；
当
时，方程无解. ………………9分
（Ⅲ）
. ……………10分
证明：由（Ⅰ）得
，
∴
，
.
要证，即证
，
只需证
，（因为
）
即证
．只需证
．（*）…………………12分
设
，
，
∴
在
单调递增，
，
∴不等式（*）成立.
∴． ………………… 14分