已知抛物线
的焦点为
，
为
上异于原点的任意一点，过点的直线
交于另一点
，交
轴的正半轴于点
，且有
.当点的横坐标为
时，
为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线
，且
和有且只有一个公共点
，
（ⅰ）证明直线
过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）由题意知
设
，则FD的中点为
，
因为，
由抛物线的定义知：
，
解得
或
（舍去）.
由
，解得
.
所以抛物线C的方程为
.
（II）（ⅰ）由（I）知
，
设
，
因为，则
，
由
得
，故
，
故直线AB的斜率为
，
因为直线和直线AB平行，
设直线的方程为
，
代入抛物线方程得
，
由题意
，得
.
设
，则
，
.
当
时，
，
可得直线AE的方程为
，
由
，
整理可得
，
直线AE恒过点.
当
时，直线AE的方程为
，过点，
所以直线AE过定点.
所以点B到直线AE的距离为
.
则的面积
，
当且仅当
即
时等号成立.
所以的面积的最小值为16.