（本小题满分12分）
如图，棱柱
的所有棱长都为2，
则棱
与底面
所成的角为
，
平面
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）证明：
平面
；
（3）求二面角
的余弦值.
（本小题满分12分）
如图，棱柱的所有棱长都为2，则棱与底面所成的角为，平面为的中点.
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的余弦值.
解（1）因为棱柱
的所有棱长都为2，所以四边形
为菱形，
. ……1分
又
平面
平面，
所以
.
又因为
平面
，
所以
平面
，
因为
平面，
所以
. ……………………3分
（2）连结
因为四边形为菱形，
，
所以
是
的中点
又因为点
为
的中点，
所以在
中，
，
因为
平面
，
平面，
所以
平面. …………………………6分
（3）以为坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.因为侧棱
与底面所成角为
，平面.
所以
，在
中，可得
，
在
中，
.
. ………………8分
设平面
的法向量为
所以
因为
=（-1，0，
），
.
，
可设
，
又因为平面，所以平面的法向量为
， ………………11分
因为二面角
为锐角，
故二面角的余弦值是
. ……………………12分