如图,等边三角形OAB的边长为8
,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py
(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py
(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,
y=|OB|cos 30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,
所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明:由(1)知y=
x2,y′=
x.
设P(x0,y0),则x0≠0,y0=
,且l的方程为
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.
由
得
所以Q为
.
设M(0,y1),令
·
=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1), =
,
由·=0,
得
-y0-y0y1+y1+
=0,
即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,
所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).