解：
∵f（m-2）=0,∴a（m-2）2+3（a+1）（m-2）+3a+4=0.
∵m∈R
,∴m-2∈R
,∴Δ=9（a+1）2-4a（3a+4）≥0,
即3a2-2a-9≤0.
解得
≤a≤
.
又a∈Z
且a＜0,∴a=-1.∴f（x）=1-x2,
g（x）=f［f（x）］=1-［f（x）］2=1-（x2-1）2.
令y=F（x）,则
y=p［1-（x2-1）2］+（1+x2）=-px4+（2p-1）x2+1.
∴y′=-4px3+2（2p-1）x,
依题意y′｜x=-3=0.
即-4p×（-27）-6（2p-1）=0,
∴p=-
.
此时,y=F（x）=
x4-
x2+1.
y′=
x（x2-9）.
当x∈（-∞,-3） 时,y′＜0.
当x∈（-3,0）时,y′＞0.
∴当p=-
时,函数y=F（x）在（-∞,-3）内递减,在（-3,0）内递增.