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R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)f(2x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)                                                                             (  )

A.在区间[2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数

B.在区间[2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数

C.在区间[2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数

D.在区间[2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

思路 根据函数是偶函数和关系式f(x)f(2x),可得函数图像的两条对称轴,只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像,结合图像对问题作出结论.

答案

B

解析 方法一 由函数是偶函数,知函数的图像关于y轴对称,函数在区间[2,-1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反,为增函数; 由f(x)f(2x)知函数的图像关于直线x1对称,故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[2,-1]上的单调性相反,为减函数.故选B.

方法二 求解本题的难点在于函数的抽象性,化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理,如根据函数是偶函数可得f(x)f(x),再根据f(x)f(2x),把其中的x换成-x可得f(x)f(2x),即f(x)f(x2),即函数是周期为2的偶函数,再根据f(x)f(2x)推知函数图像关于直线x1对称.

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