已知函数
，
。
⑴讨论函数
的单调性；
⑵如果存在
、
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；
⑶如果对任意
、
，都有
成立，求实数
的取值范围。
已知函数，。
⑴讨论函数的单调性；
⑵如果存在、，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
⑶如果对任意、，都有成立，求实数的取值范围。
解：⑴
，
①当
时，由于
所以
，函数
在
上单调递增；
②当
时，
，函数的单调递增区间为
；
，函数的单调递减区间为
⑵存在、，使得成立，
等价于
，
当
变化时，
和
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| - |
|
| |
| \ |
| 递减 | 极（最）小值 | 递增 |
|
由上表可知：
，
，
所以满足条件的最大整数
。
⑶当
时，
恒成立，
等价于
恒成立。
记
，所以
。
，
。
当
时，
，，
即函数在区间
上递增，
当
时，
，
，
即函数在区间
上递减，
当
时，函数取得极大值也是最大值
所以
。
