（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
设
为定义域为
的函数，对任意
，都满足：
，
，且当
时，
（1）请指出在区间
上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间
上的解析式．
（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
设为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，
（1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间上的解析式．
解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分
最大值为
、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分
单调递增区间：
单调递减区间：
；...…………………………………………1分
零点：
．.…………………………..……………………………………………………1分
单调区间证明：
当
时，
设
，
，
证明
在区间
上是递增函数
由于函数
是单调递增函数，且
恒成立，
所以
，
，
所以，在区间上是增函数．…………………………………………………….4分
证明在区间上是递减函数
【证法一】因为在区间
上是偶函数．
对于任取的
，，有
所以，在区间上是减函数． …………………………………………………..4分
【证法二】设
，由在区间上是偶函数，得
以下用定义证明在区间上是递减函数 ………………………………………..4分
（2）设
，
，
所以，2是周期． ……………………………………………………………4分
当
时，
，
所以
………………………………………….4分