已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°，点E为BD延长线上一点，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°，点E为BD延长线上一点，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．
（1）如图4．
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=
=75°．
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2=
∠BAC=
=15°． ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．
证明：（2）证法一：取BE的中点N，连接AN．（如图5）
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM为等边三角形．
∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，
∴BN=NE，且AN⊥BE．
∴DN=NM．
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME．
∵DB=DC，
∴ME = DC．
证法二：如图6．
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，
∴△ADM为等边三角形．
∴∠3=60°．
∵AE=AB，
∴∠E=∠1=45°．
∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△AEM中，
∴△ABD≌△AEM．
∴BD =EM．
∵DB = DC，
∴ME = DC．
解析:此题考查了三角形的性质