若无穷数列
满足：①对任意
，
；②存在常数
，对任意，
，则称数列为“
数列”.
（Ⅰ）若数列的通项为
，证明：数列为“数列”；
（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，
；
（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 
，数列
为等差数列.
若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.
（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；
（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；
（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ，数列为等差数列.
（Ⅰ）证明：由，可得
，
，
所以
，
所以对任意，．
又数列为递减数列，所以对任意，
．
所以数列为“数列”．
（Ⅱ）证明：假设存在正整数
，使得
．
由数列的各项均为正整数，可得
．
由
，可得
．
且
．
同理
，
依此类推，可得，对任意，有
．
因为
为正整数，设
，则
.
在中，设
，则
．
与数列的各项均为正整数矛盾．
所以，对任意，.
（Ⅲ）因为数列为“数列”，
所以，存在常数，对任意，．
设
．
由（Ⅱ）可知，对任意，，
则
．
若
，则
；若
，则
．
而
时，有
．
所以
，
，
，…，
，…，中最多有个大于或等于
，
否则与矛盾．
所以，存在，对任意的
，有
．
所以，对任意，
．
所以，存在 ，数列为等差数列.