已知函数
，（其中e＝2.71828···是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，其中
为的导函数。证明：对任意的
，
.
已知函数，（其中e＝2.71828···是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，其中为的导函数。证明：对任意的，.
解： (Ⅰ)f ′(x)＝
(1－x－xlnx),x∈(0，＋∞)， ......2
令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以x∈(0,1)时，f ′(x)>0;
x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0. . ...............4
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． ... .....6
(Ⅱ)证明：因为g(x)＝xf ′(x)．
所以g(x)＝
(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．
由(1
)h(x)＝1－x－xlnx，
求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)， ....
................8
所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2. ....................10
又当x∈(0，＋∞)时，0<<1，
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)<1＋e－2，即g(x)<1＋e－2.