设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
(1)f(x)的极大值是f(－)＝
＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)
.
【解析】试题分析：
(1)首先求得导函数，然后列表考查函数的单调性，据此可得f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)由题意结合(1)中的极值的结论可得实数a的取值范围是
.
试题解析：
(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－
或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
| x | (－∞，－ | － | (－ | 1 | (1，＋∞) |
| f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以f(x)的极大值是f(－)＝
＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，
∴a＜－或a＞1，
∴当a∈(－∞，－
)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．