证法一:(综合法)∵a+b+c=0,∴（a+b+c）2=0.
展开得ab+bc+ca=-
,
∴ab+bc+ca≤0.
证法二:(分析法)要证ab+bc+ca≤0,
∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2，
即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，
亦即证
［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．
而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.
证法三:∵a+b+c=0，∴-c=a+b.
∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-［（a＋
）2＋
］≤0．
∴ab+bc+ca≤0.