如图，
是
的直径，点C，点D在上，
，
与
相交于点E，
与相切于点A，与延长线相交于点F．
（1）求证：
．
（2）若
，
，求的半径．
如图，是的直径，点C，点D在上，，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线性质得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，结合∠CDA=∠ABC，证明∠CAF=∠CAD，从而证明△ACF≌△ACE，即可得到结论；
（2）根据EF求出CE，结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sin∠ABF=
求出AB即可得到半径．
【详解】
解：（1）∵AB为圆O直径，
∴∠ACB=90°，
∵AF与圆O相切，
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠CDA=∠CBA，
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，
∴△ACF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF；
（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，
∴sin∠ABF=sin∠CAD=
=
，
∵△ACF≌△ACE，EF=12，
∴CE=CF=6，
∴
=，解得：AE=10，
∴AC=
=8，
∴sin∠ABF==，
∴AB=
，
∴圆O的半径为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合．