(1)证明直线l1和l2的斜率之积为定值;
(2)求点M的轨迹方程.
(1)证明直线l1和l2的斜率之积为定值;
(2)求点M的轨迹方程.
将其代入x2=2py,消去y整理，得x2-2pkx-2p2=0.
设A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-2p2.
将抛物线的方程改写为y=
x2,求导得y′=
x.
所以过点A的切线l1的斜率是k1=
,过点B的切线l2的斜率是k2=
,
故k1k2=
=-2,所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2.
(2)解：设M(x,y).因为直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1),即y
(x-x1),
同理,直线l2的方程为y
(x-x2),
联立这两个方程,消去y，得
=
(x-x2)
(x-x1),
整理，得(x1-x2)(x
)=0,注意到x1≠x2,
所以x=
.
此时y=
+
(x-x1)=
+
(
-x1)=
=-p.
由(1)知，x1+x2=2pk,所以x=
=pk∈R
所以点M的轨迹方程是y=-p.