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如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点,求证：AD⊥平面A₁DC₁.

答案

证明：以A为原点建立坐标系，如图，则A₁（0，0，2），C（0，1，0），C₁（0，1，2），D（1，0，1）.

∵=(1,0,-1), =(1,0,1),(0,1,0),·=1+0-1=0,

∴⊥.

又·=0，∴AD⊥A₁C₁.

∵A₁D∩A₁C₁=A₁，

∴AD⊥平面A₁DC₁.

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