设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=1，且Sn2=n2an+Sn﹣12，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）证明：an+2﹣an=2（n∈N*）；
（2）若an=log3bn，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=1，且Sn2=n2an+Sn﹣12，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）证明：an+2﹣an=2（n∈N*）；
（2）若an=log3bn，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
解：（1）证明：∵Sn2=n2an+Sn﹣12，
∴n2an=（Sn+Sn﹣1）（Sn﹣Sn﹣1），
即n2an=（Sn+Sn﹣1）an，又∵an≠0，
故Sn+Sn﹣1=n2，
故Sn+1+Sn=（n+1）2，
故an+1+an=2n+1，
故an+2+an+1=2n+3，
故an+2﹣an=2（n∈N*）；
（2）由题意可解得，a1=1，a2=2，
故an=n，
故log3bn=n，
故bn=3n，
故Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3Tn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
故2Tn=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n）
=n•3n+1﹣
=n•3n+1
﹣
•3n+1+
，
故Tn=
．