如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在单位圆上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作单位圆的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
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如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在单位圆上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作单位圆的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
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解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=
，①
因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，
将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+
=1；…
（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，
设切线l的方程为y=kx+t，k∈
R，
由
，
得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由③得：x1+x2=﹣
，x1x2=
，
又直线l与圆x2+y2=1相切，得
=1，即t2=k2+1
，
∴|AB|=
=
=
，
又|AB|==
≤2，且当t=±
时，|AB|=2，
综上，|AB|的最大值为2，
依题意，圆心O到直线AB的距离为
圆x2+y2=1的半径，
∴△AOB面积S=
|AB|×1≤1，
当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣
）或（0，）．…