证明方程f(x)=0有两个不相等的实数解的充要条件是:存在x0∈R,使af(x0)<0.
证明方程f(x)=0有两个不相等的实数解的充要条件是:存在x0∈R,使af(x0)<0.
证明:(1)充分性:若存在x0∈R,使af(x0)<0,
则b2-4ac=b2-4a［f(x0)-ax02-bx0］
=b2+4abx0+4a2x02-4af(x0)
=(b+2ax0)2-4af(x0)>0.
∴方程f(x)=0有两个不等实根.
(2)必要性:若方程f(x)=0有两个不等实根,则b2-4ac>0.
设x0=-
,a·f(x0)=a［a(-
)2+b(-
)+c］
=
-
+ac=
<0.