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如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M为CC1的中点,求

如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M为CC1的中点,求证:AB1⊥A1M.

答案

证明:如图,连结AC1交A1M于P,

∵∠BCA=90°,且BC⊥CC1,

∴BC⊥平面AA1C1C.

又BC∥B1C1,从而有B1C1⊥平面AA1C1C.

∴AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.

设∠AC1A1=α,∠MA1C1=β,则tanα=,tanβ= .

∴α+β=90°,即AC1⊥A1M.

∴AB1⊥A1M.

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