在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.

(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为          

(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.

(3)连接AD,当OC∥AD时,

①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由.

答案

解:(1)∵点A(6,0),点B(0,6),

∴OA=OB=6,

∴△OAB为等腰直角三角形,

∴∠OBA=45°,

∵OC∥AB,

∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;

(2)∵△OAB为等腰直角三角形,

∴AB=OA=6

∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,

过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,

∵△OAB为等腰直角三角形,

∴AB=OA=6

∴OE=AB=3

∴CE=OC+CE=3+3,△ABC的面积=CE•AB=×(3+3)×6=9+18.

∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9+18.

(3)①如图,过C点作CF⊥x轴于F,

∵OC∥AD,

∴∠ADO=∠COD=90°,

∴∠DOA+∠DAO=90°

而∠DOA+∠COF=90°,

∴∠COF=∠DAO,

∴Rt△OCF∽Rt△AOD,

=,即=,解得CF=

在Rt△OCF中,OF==

∴C点坐标为(﹣);

②直线BC是⊙O的切线.理由如下:

在Rt△OCF中,OC=3,OF=

∴∠COF=30°,

∴∠OAD=30°,

∴∠BOC=60°,∠AOD=60°,

∵在△BOC和△AOD中

∴△BOC≌△AOD(SAS),

∴∠BCO=∠ADC=90°,

∴OC⊥BC,

∴直线BC为⊙O的切线.

相关题目

意大利新兴工业发展的主要条件是:①大批廉价劳动力,②
意大利新兴工业发展的主要条件是:①大批廉价劳动力,②丰富的矿产资源,③发达的银行信贷体系,④当地是广阔的销售市场,⑤原料和能源大幅度
元素的性质呈现周期性变化的根本原因是( )A.原子半径呈
元素的性质呈现周期性变化的根本原因是( )A.原子半径呈周期性变化B.元素的化合价呈周期性变化C.电负性呈周期性变化D.元素原子的核外电子
中国近代民族工业中的“近代”的含义主要是指(    ) A
中国近代民族工业中的“近代”的含义主要是指(    ) A.使用机器进行生产       B.产生于中国近代历史时期 C.由私人投资兴办的       D.
美国东部时间2006年10月17日上午7点46分,美国人口达到3亿,
美国东部时间2006年10月17日上午7点46分,美国人口达到3亿,这引起国际社会的广泛关注。很多人关注的不是人口的增长,而是美国人口增长对环境的影
下图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其左视图是【   
下图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其左视图是【    】
如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是
如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为               。  
当地震发生时,下列做法不正确的是 (    ) A.迅速关闭电
当地震发生时,下列做法不正确的是 (    ) A.迅速关闭电源、燃气   B. 避开高大建筑物 C.注意保护头部         D.及时返回室内
寓言“刻舟求剑”的哲学启示是: ①事物的运动变化就是指
寓言“刻舟求剑”的哲学启示是: ①事物的运动变化就是指空间位置的移动 ②运动和静止是辩证统一的 ③运动是绝对的,无条件的,静止是相对的,

最新题目