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求过抛物线y2=2px的焦点的弦长的最小值.

求过抛物线y2=2px的焦点的弦长的最小值.

答案

解：

设抛物线的焦点弦的端点A（x1,y1），B（x2,y2），并设焦点弦所在的直线方程为x=my+a，∵弦AB过焦点F（,0）,∴a=.

故直线AB的方程为x=my+

于是x1=my1+，x2=my2+.

将x=my+代入y2=2px,

∴y2-2pmy-p2=0.

∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.

∴|AB|==·=2p（m2+1）≥2p.

故当m=0，即过焦点的弦垂直于x轴时，

弦的长度最短，其最小值为2p，即过焦点的弦中通径最短.

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