求过抛物线y2=2px的焦点的弦长的最小值.

求过抛物线y2=2px的焦点的弦长的最小值.

答案

解:

设抛物线的焦点弦的端点Ax1,y1),Bx2,y2),并设焦点弦所在的直线方程为x=my+a,∵弦AB过焦点F,0),∴a=.

故直线AB的方程为x=my+

于是x1=my1+x2=my2+.

x=my+代入y2=2px,

y2-2pmy-p2=0.

y1+y2=2pm,y1y2=-p2.

∴|AB|==·=2pm2+1)≥2p.

故当m=0,即过焦点的弦垂直于x轴时,

弦的长度最短,其最小值为2p,即过焦点的弦中通径最短.

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