(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.
(Ⅰ)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当m＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；
(Ⅲ)若xÎ(1,e]时，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围.
(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.
(Ⅰ)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当m＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；
(Ⅲ)若xÎ(1,e]时，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围.
解：⑴ m＝2时，f(x)＝2x－,f¢(x)＝2＋,f¢(1)＝4, …………………………1分
切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y＝4x－4 ………………………………2分
⑵ m＝1时，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx,则h¢(x)＝1＋－＝≥0
∴h(x)在(0,＋∞)上是增函数。 ………………………………4分
又h(e).h()＝－(－e＋2)2＜0, ∴h(x)在(,e)上有且只有一个零点 …………………5分
∴方程
有且仅有一个实数根； ………………………6分
(或说明h(1)＝0也可以)
⑶ 由题意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x2－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x2－1＞0
则当xÎ(1,e]时，m＜恒成立, ……………………7分
令G(x)＝，当xÎ(1,e]时，G¢(x)＝＜0, ……………………9分
则G(x)在xÎ(1,e]时递减，∴G(x)在xÎ(1,e]时的最小值为G(e)＝,……………11分
则m的取值范围是(－∞,] ………………12分