已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．
解：由题意得f′(x)＝12x2－2a．
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0时，
，
此时函数f(x)的单调递增区间为
和
．
单调递减区间为
．
证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，
则g′(x)＝6x2－2＝
，
于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
| x | 0 |
|
|
| 1 |
| g′(x) | － | 0 | ＋ | ||
| g(x) | 1 | 单调递减 | 极小值
| 单调递增 | 1 |
所以，g(x)min＝
＞0．
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．
