(n=1,2,3,…),试证:数列{xn}或者对任意n∈N都满足xn<xn+1,或者对任意n∈N都满足xn>xn+1.
(n=1,2,3,…),试证:数列{xn}或者对任意n∈N都满足xn<xn+1,或者对任意n∈N都满足xn>xn+1. 证明:由于xn+1-xn=
-xn=
且x1>0,又由题设可知对任意n∈N
(1)若x1<1,用数归纳法证明1-xn2>0.
1°当n=1时,1-x12>0成立.
2°假设当n=k时,1-xk2>0成立,则当n=k+1时,1-xk+12=1-[
]2=
>0,即当n=k+1时,有1-xk+12>0成立.故对任意n∈N
(2)若x1>1,同样可证,对任意n∈N
,1-xn2<0,此时有xn+1<xn.综合(1)、(2),原问题获证.