已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R （1）求函数f（x）的单调区间； （2）

已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，任意的0＜a＜b，证明：≤1﹣a．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（I）函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）．（x＞0）．对m分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出．

（II）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立；当m＞0时，，要使f（x）≤0恒成立，即﹣lnm﹣1+m≤0．令h（m）=﹣lnm﹣1+m，

利用导数研究其单调性极值与最值即可．

（III）0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），==1﹣，再利用（II）的结论t＞1时，lnt＜t﹣1．即可证明．

【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）．

（x＞0）．

当m≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；

当m＞0时，令f′（x）＞0，可得，令f′（x）＜0，可得，

∴函数f（x）在上为增函数，在上为减函数．

（2）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立；

当m＞0时，，

要使f（x）≤0恒成立，即﹣lnm﹣1+m≤0．

令h（m）=﹣lnm﹣1+m，，

可得m∈（0，1）时，h（m）为减函数，m∈（1，+∞）时，h（m）为增函数，

∴h_min（m）=h（1）=0，

∴m=1．

∴m的取值范围是{1}．

（3）证明：∵0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），==1﹣，

由（2）知f（x）=lnx﹣x+1≤0，可得lnt≤t﹣1，，得，

∴≤1﹣a．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，考查了利用已经证明的结论解决新问题的能力，属于难题．