(1)求证:
;
(2)求四面体ABCD的体积;
(3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;
(4)求AD与平面BCD所成的角〔条件同(3)〕;
(5)条件同(3),求四面体的外接球半径.
(1)求证:;
(2)求四面体ABCD的体积;
(3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;
(4)求AD与平面BCD所成的角〔条件同(3)〕;
(5)条件同(3),求四面体的外接球半径.
(1)证明:作CE⊥AD交AD于E.
作CH⊥面ABD交ABD于H.
连结EH,记CH长为h,CE为ha.
∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,
∴HE⊥AD,sinα=
又a·ha·
∴
,
.∴
(2)解析：过点C作GF∥DB.C为GF中点,连结GD并延长至E.DE=DG.连结EF、AE、AG、AF.
∵AC=
同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.
设AE=x,AF=z,AG=y.
解得
∴VE—AGF=
VA—DBC=
VABCD=
(3)解析：V=
=
×5×3×3
=
.
cosθ=
.
∴S=
sinθab=
×
×5×4=
.
∴d=
.∴sinα=
.
(4)解析：设所成角为γ.
sinγ=
.
(5)解析：把四面体ABCD补成长方体,设其边长为x、y、z,则有
x2+y2=a2, ①
y2+z2=b2, ②
z2+x2=c2. ③
(①+②+③),得(2R)2=a2+b2+c2.
∴R=
.