分析：
本题考查函数的单调性证明.用定义或用导数都较容易.证法一：
由f′(x)=3x2+1,知当x∈（-∞,+∞）时，3x2+1＞0,∴f′(x)＞0.故f(x)=x3+x在（-∞,+∞）上是增函数.
证法二：
设x1＜x2,则x2-x1＞0.f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)
=(x2-x1)(x12+x1x2+x22+1)
=(x2-x1)［(x1+
)2+
x22+1］.
∵（x1+
）2+
x22+1＞0,∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).得f(x)=x3+x在（-∞,+∞）上是增函数.