解:
只有当这些直线互不平行并且没有两条以上的直线交于同一点时,才能使分成的块数为最多.后面,我们假定这两个条件都满足,用an表示由n条直线划分平面时所产生的块数.我们从n=1、2、3、4情形入手,然后比较、分析其中的规律性,进而归纳出an.
用实验的方法可得a1=2,a2=4,a3=7,a4=11,观察这个数列,发现可用二次式表达为
a1=
,a2=
,a3=
,a4=
,
由此猜想{an}的通项为an=
.
上述的具体计算及归纳猜想都不是件容易的事,我们可以归纳出对n条直线都适用的方法(递推法).
设n-1条直线把平面分成an-1块,现在我们再添加第n条直线,它与前面n-1条直线相交可得到n-1个交点,这n-1个交点将第n条直线分成n段,每段将其穿过的平面块一分为二,这样就比原来多增加了n块.于是得到递推公式:an=an-1+n.
在上式中分别令n=1,2,…,n,得n个等式
a1=1+1,
a2=a1+2,
…
an=an-1+n.
把它们加起来,得到
an=1+(1+2+…+n)
=1+
=
.
因此,一个平面用n条直线去划分,最多被分成
块.
点评:
运用归纳推理需要考察部分对象的情形,从而归纳猜想出一般规律,这样往往有时计算量大,易出偏差,且内部潜在的规律性有时难于看出来,就用“递推法”取代“经验归纳法”,转向考查问题每递进一步所反映的规律,即探求递推关系,最后用初始值及递推关系来寻找一般规律.