19. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90

（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离.

19.解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵D、E分别是CC_1­­、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形.

连结DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF.在直角三角形EFD中，

EF²＝FG·FD＝FD²，

∵EF＝1，∴FD＝.

于是ED＝，EG＝＝.

∵FC=ED=，

∴AB＝2，A₁B＝2，EB＝.

∴sinEBG＝＝·＝.

∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin.

（Ⅱ）连结A₁D，有＝.

∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，    ∴ED⊥平面A₁AB，

设A₁到平面AED的距离为h，则·h＝·ED.

又＝＝A₁A·AB＝，   ＝AE·ED＝.

∴h==.       即A₁到平面AED的距离为.

解法二：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A₁BG是A₁B与平面ABD所成的角.

如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a,

则A（2a,0,0）,B(0,2a,0),D(0,0,1),

A₁(2a,0,2),E(a,a,1),G(,,).

∴＝(,,),=(0,－2a,1).

∴·=－＋＝0，解得a=1.

∴＝（2，－2,2），＝（，－，）.

∴cosA₁BG===.

A₁B与平面ABD所成角是arccos.

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2,0,0），A₁（2,0,2），E（1,1,1），D（0,0,1）.

   ·=(－1,1，1) ·（－1，－1,0）＝0，

·＝（0,0，2）·（－1，－1,0）＝0，

∴ED⊥平面AA₁E，又ED平面AED，

∴平面AED⊥平面AA₁E，又面AED面AA₁E=AE,

∴点A₁在平面AED的射影K在AE上.

设＝，则＝＝＝（－，，－2）.

由·＝0，即＋＋－2＝0，   解得＝.

∴=（－，，－）.

∴||=.　故A₁到平面AED的距离为.