已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切

已知动圆P与圆F₁：（x+3）²+y²=81相切，且与圆F₂：（x﹣3）²+y²=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|²的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记△QF₂M的面积为S₁，△OF₂N的面积为S₂，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6，从而圆心P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．

（II）设直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，由，能求出|OQ|²，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|²的比值为常数．

（III）由△QF₂M的面积=△OF₂M的面积，能求出S=S₁+S₂的最大值．

【解答】（本小题满分13分）

解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R

由于动圆P与圆相切，

且与圆相内切，所以动

圆P与圆只能内切

∴，∴|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6…

∴圆心P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6，

∴a=4，c=3，b²=a²﹣c²=7

故圆心P的轨迹C：．…

（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），

直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3

由，得：，∴，

∴…

由，得：（7m²+16）y²+42my﹣49=0，

∴，

∴

==

=…

∴，

∴|MN|和|OQ|²的比值为一个常数，这个常数为…

（III）∵MN∥OQ，∴△QF₂M的面积=△OF₂M的面积，

∴S=S₁+S₂=S_△OMN

∵O到直线MN：x=my+3的距离，

∴…

令，则m²=t²﹣1（t≥1），

∵（当且仅当，即，亦即时取等号）

∴当时，S取最大值…