在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（III）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF.

∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD

在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE.

又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP

(II)在图2中，∵A₁E不垂直于A₁B，∴A₁E是平面A₁BP的斜线.

又A₁E⊥平面BEP, ∴A₁E⊥BP,

从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）.

设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，则

∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q.

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60⁰，  ∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP.

又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=

又A₁E=1,在Rt△A₁EQ ,tan∠EA₁Q=,∴∠EA₁Q=60⁰.

所以直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60⁰

(III)在图3中，过F作FM⊥A₁P于M，连结QM，QF.

∵CF=CP=1, ∠C=60⁰.    ∴△FCP是正三角形，∴PF=1.

又PQ=BP=1，∴PF=PQ.            ①

∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=，   ∴A₁F=A₁Q，∴△A₁FP≌△A₁QP,

从而∠A₁PF=∠A₁PQ.               ②

由①②及MP为公共边知 △FMP≌△QMP，

∴∠QMP=∠FMP=90⁰，且MF=MQ，

从而∠FMQ为二面角B-A₁P-F的平面角

在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，∴A₁P=.

∵MQ⊥A₁P, ∴MQ=,∴MF=.

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60⁰，由余弦定理得QF=.

在△FMQ中，cos∠FMQ=

所以二面角B-A₁P-F的大小为-arccos