思路分析
:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a,b,c所确定的等式都成立.解:分别用n=1,2,3代入解方程组
下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,由上可知等式成立;
(2)假设当n=k时,等式成立,
则当n=k+1时,
左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=
k4+(-
)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=
(k+1)4-
(k+1)2.
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N
*均成立.