（08年长郡中学二模理）（12分）
（Ⅰ）求
与平面A1C1CA所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD.
（08年长郡中学二模理）（12分）
（Ⅰ）求与平面A1C1CA所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD.
解析：（Ⅰ）连接A1C.∵A1B1C1－ABC为直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.
∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分
∴
为
与平面A1C1CA所成角，
.
∴
与平面A1C1CA所成角为
.…………4分
（Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM，
∵BC⊥平面ACC1A1，∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影，
∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角，
平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
，
.
即二面角B―A1D―A的大小为
.……………………8分
（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A1BD.
证明如下：
∵A1B1C1―ABC为直三棱柱，∴B1C1//BC，
∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，当F为AC的中点时，
C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.
同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分