已知函数f（x）=x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=
+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）由导数的几何意义得f'（2）=1，解得即可；
（2）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即
在[1，2]上恒成立．即
在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数
，在[1，2]上的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）
…（2分）
由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（4分）
（2）由
得
，
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即
在[1，2]上恒成立．
即
在[1，2]上恒成立．…（9分）
令
，在[1，2]上
，
所以h（x）在[1，2]为减函数.
，
所以
．…（13分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值等知识，属于中档题．