如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= 
，BE=2，求BC的长．
如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
（1）解 ：由题意得△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD
∴AB=AC
∴AE=AB
（2）解 ：如图，过点A作AH⊥BE于点H
∵AB=AE，BE=2
∴BH=EH=1
∵∠ABE=∠AEB=ADB，cos∠ADB=
∴cos∠ABE=cos∠ADB=
∴ 
=
∴A
C=AB=3
∵∠BAC=90°，AC=AB
∴BC= 
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由翻折的性质得出△ADE≌△ADC，根据全等三角形对应角相等，对应边相等得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠AED，根据等量代换得出∠ABD=∠ACD，根据等角对等边得出AB=AC，从而得出结论；
（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的三线合一得出BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出BH ∶AB = 1 ∶3,从而得出AC=AB=3，在Rt三角形ABC中，利用勾股定理得出BC的长。